Introduction
Le calcul de delta est une opération incontournable en mathématiques, notamment en algèbre et en analyse. Delta est le symbole qui désigne la valeur discriminante d’une équation du second degré. Elle permet de déterminer le nombre de solutions réelles d’une équation du second degré et de les caractériser. Dans cet article, nous allons vous expliquer comment calculer delta de manière simple et efficace, et vous proposer des exemples pratiques pour vous aider à mieux comprendre.
Qu’est-ce que delta ?
Delta est la valeur discriminante d’une équation du second degré, notée ∆. Cette valeur est calculée à partir des coefficients a, b et c de l’équation :
ax² + bx + c = 0
La formule pour calculer delta est la suivante :
∆ = b² – 4ac
Si le discriminant est positif (∆ > 0), l’équation admet deux solutions réelles et distinctes. Si le discriminant est nul (∆ = 0), l’équation admet une seule solution réelle et double. Enfin, si le discriminant est négatif (∆ < 0), l’équation n’admet pas de solution réelle.
Comment calculer delta ?
Pour calculer delta, il suffit donc d’appliquer la formule ∆ = b² – 4ac, en remplaçant les coefficients a, b et c par ceux de l’équation du second degré. Voyons cela plus en détail avec un exemple concret :
Exemple :
Calculer la valeur discriminante de l’équation 2x² + 5x – 3 = 0.
Solution :
On a a = 2, b = 5 et c = -3. On peut donc appliquer la formule ∆ = b² – 4ac :
∆ = 5² – 4 × 2 × (-3)
∆ = 25 + 24
∆ = 49
La valeur discriminante de l’équation 2x² + 5x – 3 = 0 est donc ∆ = 49.
Interprétation de delta
Comme nous l’avons vu précédemment, la valeur discriminante permet de déterminer le nombre et la nature des solutions d’une équation du second degré. Voyons maintenant comment interpréter les différentes valeurs de delta.
Si ∆ > 0, l’équation admet deux solutions réelles et distinctes. Dans ce cas, les solutions sont données par la formule suivante :
x₁ = (-b – √∆) / 2a
x₂ = (-b + √∆) / 2a
Exemple :
Reprenons l’équation 2x² + 5x – 3 = 0 dont la valeur discriminante est ∆ = 49. Comme ∆ > 0, l’équation admet deux solutions réelles et distinctes. On peut donc calculer ces solutions en utilisant la formule ci-dessus :
x₁ = (-5 – √49) / 4
x₁ = (-5 – 7) / 4
x₁ = -3 / 2
x₂ = (-5 + √49) / 4
x₂ = (-5 + 7) / 4
x₂ = 1 / 2
Les solutions de l’équation 2x² + 5x – 3 = 0 sont donc x₁ = -3/2 et x₂ = 1/2.
Si ∆ = 0, l’équation admet une seule solution réelle et double. Cette solution est donnée par la formule suivante :
x₀ = -b / 2a
Exemple :
Considérons l’équation x² – 6x + 9 = 0 dont la valeur discriminante est ∆ = 0. Comme ∆ = 0, l’équation admet une seule solution réelle et double. On peut la calculer en utilisant la formule ci-dessus :
x₀ = -(-6) / 2
x₀ = 3
La solution de l’équation x² – 6x + 9 = 0 est donc x₀ = 3.
Si ∆ < 0, l'équation n'admet pas de solution réelle. Dans ce cas, on dit que l'équation est sans solution réelle.
Exemple :
Considérons l'équation x² + 2x + 5 = 0 dont la valeur discriminante est ∆ = -16. Comme ∆ < 0, l'équation n'admet pas de solution réelle.
Exemples pratiques
Pour mieux comprendre le calcul de delta, voici quelques exemples pratiques :
Exemple 1 :
Calculer la valeur discriminante de l'équation x² – 4x + 4 = 0.
Solution :
On a a = 1, b = -4 et c = 4. On peut donc appliquer la formule ∆ = b² – 4ac :
∆ = (-4)² – 4 × 1 × 4
∆ = 16 – 16
∆ = 0
La valeur discriminante de l'équation x² – 4x + 4 = 0 est donc ∆ = 0. Comme ∆ = 0, l'équation admet une seule solution réelle et double. Cette solution est x₀ = 2.
Exemple 2 :
Calculer la valeur discriminante de l'équation 3x² + 2x + 5 = 0.
Solution :
On a a = 3, b = 2 et c = 5. On peut donc appliquer la formule ∆ = b² – 4ac :
∆ = 2² – 4 × 3 × 5
∆ = 4 – 60
∆ = -56
La valeur discriminante de l'équation 3x² + 2x + 5 = 0 est donc ∆ = -56. Comme ∆ < 0, l’équation n’admet pas de solution réelle.
Exemple 3 :
Calculer la valeur discriminante de l’équation x² – 5x + 6 = 0.
Solution :
On a a = 1, b = -5 et c = 6. On peut donc appliquer la formule ∆ = b² – 4ac :
∆ = (-5)² – 4 × 1 × 6
∆ = 25 – 24
∆ = 1
La valeur discriminante de l’équation x² – 5x + 6 = 0 est donc ∆ = 1. Comme ∆ > 0, l’équation admet deux solutions réelles et distinctes. Ces solutions sont x₁ = 2 et x₂ = 3.
Conclusion
Le calcul de delta est une opération simple mais essentielle en mathématiques. La valeur discriminante permet de déterminer le nombre et la nature des solutions d’une équation du second degré. En appliquant la formule ∆ = b² – 4ac, on peut facilement calculer la valeur de delta d’une équation. Si ∆ > 0, l’équation admet deux solutions réelles et distinctes, si ∆ = 0, l’équation admet une seule solution réelle et double, et si ∆ < 0, l'équation n'admet pas de solution réelle. Grâce aux exemples pratiques proposés dans cet article, vous devriez maintenant être en mesure de calculer delta sans difficulté.
Note : Cet article n'est pas mis à jour régulièrement et peut contenir des informations obsolètes ainsi que des erreurs.
