Introduction
La calculatrice TI est largement utilisée en mathématiques, notamment pour résoudre des problèmes de combinaisons et de permutations. Dans cet article, nous allons nous pencher sur la manière de réaliser un choix de k parmi n sur une calculatrice TI. Cette notion est fondamentale en mathématiques et en statistiques, et elle est souvent utilisée dans les problèmes de dénombrement.
Qu’est-ce qu’un choix de k parmi n ?
Un choix de k parmi n, noté C(n,k), est le nombre de façons de sélectionner k éléments parmi n éléments distincts, sans tenir compte de l’ordre dans lequel ils sont choisis. Par exemple, si vous souhaitez choisir 2 éléments parmi {1,2,3}, les choix possibles sont {1,2}, {1,3} et {2,3}. Il y a donc 3 choix possibles, ce qui correspond à C(3,2).
La fonction de combinaison sur TI
La calculatrice TI dispose d’une fonction de combinaison, qui permet de calculer un choix de k parmi n. Cette fonction est notée nCr sur les calculatrices TI. Pour l’utiliser, il suffit de saisir la valeur de n, puis d’appuyer sur la touche nCr, puis de saisir la valeur de k. Par exemple, pour calculer C(5,3), vous devez saisir 5 nCr 3.
Cependant, cette méthode peut devenir fastidieuse si vous devez calculer plusieurs combinaisons successives. Dans ce cas, il est souvent plus pratique d’utiliser des astuces et des méthodes pour simplifier les calculs.
Les astuces pour calculer un choix de k parmi n
La formule de Pascal
La formule de Pascal est une règle de récurrence qui permet de calculer les coefficients binomiaux, c’est-à-dire les choix de k parmi n. Elle est définie comme suit :
C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k)
Autrement dit, le nombre de façons de choisir k éléments parmi n éléments est égal à la somme du nombre de façons de choisir k-1 éléments parmi n-1 éléments, et du nombre de façons de choisir k éléments parmi n-1 éléments.
Cette formule peut être utilisée pour calculer rapidement les combinaisons successives. Par exemple, pour calculer C(6,4), vous pouvez utiliser la formule de Pascal :
C(6,4) = C(5,3) + C(5,4)
En utilisant à nouveau la formule de Pascal, on obtient :
C(6,4) = C(4,2) + C(4,3) + C(5,4)
Enfin, en utilisant une dernière fois la formule de Pascal, on obtient :
C(6,4) = C(3,1) + C(3,2) + C(4,3) + C(5,4)
Cette méthode permet de calculer rapidement des combinaisons successives sans avoir à utiliser la fonction nCr à chaque fois.
La symétrie des coefficients binomiaux
Une autre astuce pour simplifier les calculs de combinaisons est de se servir de la symétrie des coefficients binomiaux. En effet, on a la propriété suivante :
C(n,k) = C(n,n-k)
Autrement dit, le nombre de façons de choisir k éléments parmi n éléments est égal au nombre de façons de choisir n-k éléments parmi n éléments.
Cette propriété peut être utilisée pour simplifier les calculs de combinaisons. Par exemple, pour calculer C(8,3), on peut utiliser la symétrie des coefficients binomiaux :
C(8,3) = C(8,5)
Ensuite, on peut utiliser la formule de Pascal pour obtenir :
C(8,5) = C(7,4) + C(7,5)
Et en utilisant à nouveau la symétrie des coefficients binomiaux, on obtient :
C(8,5) = C(7,3) + C(7,2)
Cette méthode permet de réduire le nombre de calculs à effectuer en utilisant la symétrie des coefficients binomiaux.
La méthode des factorielles
Une autre méthode pour calculer des combinaisons consiste à utiliser les factorielles. En effet, on a la formule suivante :
C(n,k) = n! / (k! * (n-k)!)
Autrement dit, le nombre de façons de choisir k éléments parmi n éléments est égal au quotient de la factorielle de n par le produit des factorielles de k et de n-k.
Cette méthode peut être utile lorsque la calculatrice ne dispose pas d’une fonction de combinaison, ou lorsque l’on souhaite effectuer des calculs à la main. Par exemple, pour calculer C(7,4), on peut utiliser la formule des factorielles :
C(7,4) = 7! / (4! * 3!)
En simplifiant, on obtient :
C(7,4) = (7 6 5 4) / (4 3 2 1)
Et en effectuant les calculs, on obtient :
C(7,4) = 35
Cette méthode peut être plus rapide que la méthode des combinaisons successives, mais elle nécessite de connaître les factorielles des nombres en question.
Conclusion
Le choix de k parmi n est une notion fondamentale en mathématiques et en statistiques, et il est souvent nécessaire de calculer de telles combinaisons. La calculatrice TI dispose d’une fonction de combinaison, mais il existe également des astuces et des méthodes pour simplifier les calculs, comme la formule de Pascal, la symétrie des coefficients binomiaux et la méthode des factorielles. En utilisant ces astuces, il est possible de calculer rapidement des combinaisons successives et de faciliter les problèmes de dénombrement.
Note : Cet article n'est pas mis à jour régulièrement et peut contenir des informations obsolètes ainsi que des erreurs.
