Comment réduire au même dénominateur : méthode et exemples

La réduction au même dénominateur est une opération très courante en mathématiques. Elle consiste à transformer deux fractions ayant des dénominateurs différents en deux autres fractions ayant le même dénominateur. Cela permet de les comparer et de les additionner ou de les soustraire facilement. Dans cet article, nous allons voir en détail comment réduire au même dénominateur et illustrer cela avec des exemples concrets.

La méthode pour réduire au même dénominateur

Le premier pas pour réduire deux fractions au même dénominateur est de trouver le plus petit commun multiple (PCM) des deux dénominateurs. Le PCM est le plus petit nombre entier qui est un multiple commun des deux nombres. Pour trouver le PCM, on peut utiliser l’une des méthodes suivantes :

La méthode de la factorisation en nombres premiers

Cette méthode est basée sur la factorisation en nombres premiers des deux dénominateurs. Elle consiste à décomposer chaque dénominateur en facteurs premiers et à les regrouper en une liste commune en prenant les facteurs communs une seule fois, puis en multipliant les facteurs restants.

Prenons l’exemple de la réduction au même dénominateur des fractions 3/4 et 5/6 :

• Le dénominateur 4 se décompose en 2×2 et le dénominateur 6 se décompose en 2×3.
• La liste commune des facteurs est donc 2x2x3.
• La fraction 3/4 est multipliée par 3/3 pour obtenir 9/12 (3×3=9).
• La fraction 5/6 est multipliée par 2/2 pour obtenir 10/12 (5×2=10).
• Les deux fractions sont maintenant réduites au même dénominateur de 12.

La méthode de la multiplication des dénominateurs

Cette méthode consiste à multiplier les deux dénominateurs pour obtenir un commun multiple. Cette méthode est plus simple que la précédente, mais ne convient pas aux cas où les dénominateurs sont très grands et difficiles à multiplier.

Prenons l’exemple de la réduction au même dénominateur des fractions 2/3 et 4/5 :

• Le dénominateur commun est 3×5=15.
• La fraction 2/3 est multipliée par 5/5 pour obtenir 10/15 (2×5=10).
• La fraction 4/5 est multipliée par 3/3 pour obtenir 12/15 (4×3=12).
• Les deux fractions sont maintenant réduites au même dénominateur de 15.

Les exemples de réduction au même dénominateur

Voyons maintenant quelques exemples concrets de réduction au même dénominateur.

Exemple 1 : 1/3 et 2/5

Pour réduire les fractions 1/3 et 2/5 au même dénominateur, nous allons utiliser la méthode de la multiplication des dénominateurs :

• Le dénominateur commun est 3×5=15.
• La fraction 1/3 est multipliée par 5/5 pour obtenir 5/15 (1×5=5).
• La fraction 2/5 est multipliée par 3/3 pour obtenir 6/15 (2×3=6).
• Les deux fractions sont maintenant réduites au même dénominateur de 15.

Les fractions réduites sont donc 5/15 et 6/15. On peut maintenant les additionner ou les soustraire facilement.

Exemple 2 : 3/4 et 2/9

Pour réduire les fractions 3/4 et 2/9 au même dénominateur, nous allons utiliser la méthode de la factorisation en nombres premiers :

• Le dénominateur 4 se décompose en 2×2 et le dénominateur 9 se décompose en 3×3.
• La liste commune des facteurs est donc 2x2x3x3=36.
• La fraction 3/4 est multipliée par 9/9 pour obtenir 27/36 (3×9=27).
• La fraction 2/9 est multipliée par 4/4 pour obtenir 8/36 (2×4=8).
• Les deux fractions sont maintenant réduites au même dénominateur de 36.

Les fractions réduites sont donc 27/36 et 8/36. On peut maintenant les additionner ou les soustraire facilement.

Exemple 3 : 7/8 et 3/16

Pour réduire les fractions 7/8 et 3/16 au même dénominateur, nous allons utiliser la méthode de la factorisation en nombres premiers :

• Le dénominateur 8 se décompose en 2x2x2 et le dénominateur 16 se décompose en 2x2x2x2.
• La liste commune des facteurs est donc 2x2x2x2=16.
• La fraction 7/8 est multipliée par 2/2 pour obtenir 14/16 (7×2=14).
• La fraction 3/16 est multipliée par 8/8 pour obtenir 24/16 (3×8=24).
• Les deux fractions sont maintenant réduites au même dénominateur de 16.

Les fractions réduites sont donc 14/16 et 24/16. On peut maintenant les additionner ou les soustraire facilement.

Conclusion

La réduction au même dénominateur est une opération simple mais importante en mathématiques. Elle permet de comparer et d’additionner ou de soustraire facilement des fractions ayant des dénominateurs différents. Nous avons vu dans cet article deux méthodes pour réduire au même dénominateur : la méthode de la factorisation en nombres premiers et la méthode de la multiplication des dénominateurs. Il est important de bien comprendre ces méthodes et de les utiliser correctement pour éviter des erreurs de calcul.

Note : Cet article n'est pas mis à jour régulièrement et peut contenir des informations obsolètes ainsi que des erreurs.