Introduction
Les équations sont des outils mathématiques que nous utilisons pour exprimer des relations entre des variables. Pour résoudre une équation, nous devons trouver les valeurs des variables qui vérifient cette relation. Dans cet article, nous allons nous concentrer sur la résolution d’équations du premier degré à deux inconnues, c’est-à-dire les équations de la forme ax + by = c.
Nous allons découvrir plusieurs astuces et méthodes pour trouver les valeurs de x et y qui vérifient l’équation. Ces techniques peuvent sembler complexes au premier abord, mais avec un peu de pratique, vous pourrez résoudre ces équations sans difficulté.
Méthode 1 : La substitution
La méthode de la substitution consiste à isoler une variable (par exemple, x) dans l’une des équations et à la remplacer dans l’autre équation pour obtenir une équation à une inconnue. Cette équation peut ensuite être résolue pour trouver la valeur de l’autre variable (y).
Prenons l’exemple suivant :
2x + 3y = 7
4x – y = 1
Nous allons isoler y dans la première équation :
2x + 3y = 7
3y = 7 – 2x (en soustrayant 2x des deux côtés)
y = (7 – 2x)/3 (en divisant par 3 des deux côtés)
Maintenant, nous allons remplacer y par (7 – 2x)/3 dans la deuxième équation :
4x – y = 1
4x – (7 – 2x)/3 = 1 (en remplaçant y par (7 – 2x)/3)
Nous avons maintenant une équation à une inconnue, x :
4x – (7 – 2x)/3 = 1
12x – 7 + 2x = 3 (en multipliant les deux côtés par 3 pour se débarrasser de la fraction)
14x = 10
x = 10/14 = 5/7
Maintenant que nous avons trouvé la valeur de x, nous pouvons utiliser l’une des équations initiales pour trouver la valeur de y :
2x + 3y = 7
2(5/7) + 3y = 7
10/7 + 3y = 7
3y = 7 – 10/7
3y = 49/7 – 10/7
3y = 39/7
y = 13/7
La solution de l’équation est donc x = 5/7 et y = 13/7.
Méthode 2 : L’élimination
La méthode de l’élimination consiste à ajouter ou soustraire les deux équations pour éliminer l’une des variables (x ou y) et obtenir une équation à une inconnue.
Prenons l’exemple suivant :
2x – 3y = 5
3x + 4y = 6
Nous allons multiplier la première équation par 4 et la deuxième équation par 3 pour éliminer y :
8x – 12y = 20 (en multipliant la première équation par 4)
9x + 12y = 18 (en multipliant la deuxième équation par 3)
Maintenant, nous allons ajouter les deux équations pour obtenir une équation à une inconnue, x :
17x = 38
x = 38/17
Nous avons trouvé la valeur de x. Nous allons maintenant utiliser l’une des équations initiales pour trouver la valeur de y :
2x – 3y = 5
2(38/17) – 3y = 5
76/17 – 3y = 5
3y = 76/17 – 5
3y = 27/17
y = 9/17
La solution de l’équation est donc x = 38/17 et y = 9/17.
Méthode 3 : Le déterminant
La méthode du déterminant consiste à utiliser une matrice pour résoudre l’équation. Cette méthode peut sembler plus complexe que les deux méthodes précédentes, mais elle peut être très utile pour résoudre des systèmes d’équations linéaires plus complexes.
Prenons l’exemple suivant :
2x + 3y = 7
4x – y = 1
Nous allons créer une matrice avec les coefficients des variables :
| 2 3 |
| 4 -1 |
Maintenant, nous allons créer une autre matrice en remplaçant la colonne des constantes (c) par les valeurs de droite :
| 2 3 | 7 |
| 4 -1 | 1 |
Nous allons calculer le déterminant de la première matrice :
| 2 3 |
| 4 -1 |
Le déterminant est égal à (2 x -1) – (4 x 3) = -14.
Maintenant, nous allons calculer le déterminant de la deuxième matrice en remplaçant la colonne des coefficients de x par les constantes et en utilisant la première matrice pour les coefficients de y :
| 7 3 |
| 1 -1 |
Le déterminant est égal à (7 x -1) – (1 x 3) = -4.
Maintenant, nous allons calculer le déterminant de la troisième matrice en remplaçant la colonne des coefficients de y par les constantes et en utilisant la première matrice pour les coefficients de x :
| 2 7 |
| 4 1 |
Le déterminant est égal à (2 x 1) – (4 x 7) = -26.
Maintenant, nous pouvons utiliser la formule suivante pour trouver les valeurs de x et y :
x = -d1/d
y = -d2/d
Où d est le déterminant de la première matrice, d1 est le déterminant de la deuxième matrice et d2 est le déterminant de la troisième matrice.
Dans notre exemple, d = -14, d1 = -4 et d2 = -26. Nous avons donc :
x = -(-4)/-14 = 2/7
y = -(-26)/-14 = 13/7
La solution de l’équation est donc x = 2/7 et y = 13/7.
Méthode 4 : La méthode graphique
La méthode graphique consiste à représenter graphiquement les deux équations et à trouver les valeurs de x et y qui correspondent au point d’intersection des deux droites.
Prenons l’exemple suivant :
2x + 3y = 7
4x – y = 1
Nous allons résoudre chaque équation pour y :
2x + 3y = 7
3y = 7 – 2x
y = (7 – 2x)/3
4x – y = 1
-y = 1 – 4x
y = 4x – 1
Nous allons maintenant représenter graphiquement ces deux droites :
Le point d’intersection des deux droites est approximativement (0,33 ; 2,43). Nous pouvons vérifier que ces valeurs satisfont les deux équations :
2(0,33) + 3(2,43) = 7
4(0,33) – 2,43 = 1
La solution de l’équation est donc x = 0,33 et y = 2,43.
Conclusion
Nous avons vu plusieurs méthodes pour résoudre des équations du premier degré à deux inconnues. La méthode de la substitution est utile pour isoler une variable et la remplacer dans l’autre équation. La méthode de l’élimination est utile pour éliminer une variable en ajoutant ou soustrayant les deux équations. La méthode du déterminant est utile pour résoudre des systèmes d’équations plus complexes. Enfin, la méthode graphique est utile pour représenter graphiquement les deux équations et trouver le point d’intersection.
En pratique, il est souvent préférable d’utiliser la méthode qui vous convient le mieux ou celle que vous maîtrisez le mieux. Avec de la pratique, vous deviendrez plus à l’aise avec ces différentes méthodes et vous pourrez résoudre des équations plus rapidement et plus facilement.
Note : Cet article n'est pas mis à jour régulièrement et peut contenir des informations obsolètes ainsi que des erreurs.
