Introduction
Lorsque l’on résout une équation, il arrive souvent que l’on se retrouve avec un terme en x². Ce terme peut parfois être gênant car il complique la résolution de l’équation. Heureusement, il existe plusieurs astuces et méthodes pour supprimer x² de l’équation. Dans cet article, nous allons explorer ces astuces et méthodes, et comment les appliquer efficacement.
Astuce #1 : Utiliser l’identité remarquable (a + b)² = a² + 2ab + b²
L’une des astuces les plus simples pour supprimer x² de l’équation est d’utiliser l’identité remarquable (a + b)² = a² + 2ab + b². Cette identité remarquable peut être utilisée pour transformer un terme en x² en une expression contenant des termes en x et des termes constants.
Prenons par exemple l’équation suivante : x² + 6x + 9 = 16
Nous pouvons utiliser l’identité remarquable pour transformer le terme x² en une expression contenant des termes en x et des termes constants :
(x + 3)² = 16
Nous pouvons ensuite résoudre cette nouvelle équation en prenant la racine carrée des deux côtés :
x + 3 = ±4
Enfin, nous pouvons soustraire 3 des deux côtés pour trouver la solution de l’équation :
x = 1 ou x = -7
Astuce #2 : Factoriser l’expression
Une autre astuce pour supprimer x² de l’équation est de factoriser l’expression. La factorisation permet de décomposer une expression en produit de facteurs. Si l’expression contenant x² peut être factorisée, cela permet de supprimer le terme x² de l’équation.
Prenons par exemple l’équation suivante : x² + 5x – 6 = 0
Nous pouvons factoriser cette expression en cherchant deux nombres dont le produit est -6 et dont la somme est 5 :
(x + 6)(x – 1) = 0
Nous pouvons ensuite résoudre cette nouvelle équation en utilisant la propriété qui dit que si le produit de deux nombres est égal à zéro, alors au moins l’un des deux nombres est égal à zéro :
x + 6 = 0 ou x – 1 = 0
Enfin, nous pouvons résoudre ces deux équations pour trouver les solutions de l’équation initiale :
x = -6 ou x = 1
Astuce #3 : Utiliser la formule quadratique
La formule quadratique est une formule mathématique qui permet de trouver les racines d’une équation du second degré de la forme ax² + bx + c = 0, où a, b et c sont des nombres réels et a ≠ 0. Cette formule est très utile pour supprimer x² de l’équation.
La formule quadratique est la suivante :
x = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a
Prenons par exemple l’équation suivante : 2x² + 3x – 2 = 0
Nous pouvons utiliser la formule quadratique pour trouver les racines de cette équation :
x = (-3 ± √(3² – 42(-2))) / 4
x = (-3 ± √25) / 4
x = (-3 + 5) / 4 ou x = (-3 – 5) / 4
x = 1 / 2 ou x = -1
Astuce #4 : Compléter le carré
Compléter le carré est une méthode qui consiste à transformer une équation de la forme ax² + bx + c = 0 en une équation de la forme (x + p)² + q = 0. Cette méthode est très utile pour supprimer x² de l’équation.
Prenons par exemple l’équation suivante : x² + 6x + 8 = 0
Nous pouvons compléter le carré en ajoutant (b/2)² à chaque membre de l’équation :
(x + 3)² – 1 = 0
Nous pouvons ensuite résoudre cette nouvelle équation en ajoutant 1 des deux côtés :
(x + 3)² = 1
Nous pouvons enfin prendre la racine carrée des deux côtés pour trouver les solutions de l’équation :
x + 3 = ±1
x = -4 ou x = -2
Astuce #5 : Utiliser une substitution
Une autre méthode pour supprimer x² de l’équation consiste à utiliser une substitution. Cette méthode est utile lorsque l’équation peut être transformée en une équation de la forme u² + au + b = 0, en utilisant une substitution de la forme x = u + v.
Prenons par exemple l’équation suivante : x² + 4x – 21 = 0
Nous pouvons utiliser la substitution x = u + v pour transformer cette équation en une équation de la forme u² + au + b = 0 :
(u + v)² + 4(u + v) – 21 = 0
Nous pouvons ensuite développer cette expression et regrouper les termes en u et les termes en v :
u² + (2v + 4)u + (v² + 4v – 21) = 0
Nous pouvons ensuite choisir une valeur de v telle que v² + 4v – 21 = 0. Par exemple, nous pouvons choisir v = 3, ce qui donne v² + 4v – 21 = 0.
Nous pouvons alors résoudre cette nouvelle équation pour trouver u :
u² + 10u + 9 = 0
(u + 1)(u + 9) = 0
u = -1 ou u = -9
Nous pouvons ensuite utiliser la substitution x = u + v pour trouver les solutions de l’équation initiale :
x = -1 + 3 ou x = -9 + 3
x = 2 ou x = -6
Conclusion
Supprimer x² de l’équation peut parfois être difficile, mais il existe plusieurs astuces et méthodes pour y parvenir. L’utilisation de l’identité remarquable, la factorisation, la formule quadratique, la complétion du carré et la substitution sont toutes des méthodes efficaces pour supprimer x² de l’équation. En utilisant ces astuces et méthodes, vous serez en mesure de résoudre plus facilement des équations du second degré.
Note : Cet article n'est pas mis à jour régulièrement et peut contenir des informations obsolètes ainsi que des erreurs.
