Introduction
Lorsque l’on travaille avec des fractions, il peut être parfois difficile de les comparer ou de les additionner si elles ont des dénominateurs différents. C’est pourquoi il est important de savoir comment réduire des fractions au même dénominateur. Cette technique est particulièrement utile pour les élèves de 4ème qui commencent à apprendre les bases de l’arithmétique des fractions. Dans cet article, nous allons voir différentes méthodes pour simplifier des fractions en réduisant leur dénominateur.
Définitions
Avant de commencer, il est important de rappeler quelques définitions. Une fraction est un nombre représenté sous la forme d’un quotient de deux nombres entiers :
$$frac{a}{b}$$
$a$ est appelé le numérateur et $b$ est appelé le dénominateur. Le dénominateur représente le nombre de parts égales dans lesquelles est divisée une unité. Par exemple, une fraction $frac{3}{4}$ signifie que l’on partage une unité en quatre parts égales, et que l’on prend trois de ces parts.
Réduire au même dénominateur
Lorsque l’on travaille avec des fractions, il est souvent nécessaire de les comparer ou de les additionner. Cependant, cela peut être difficile si les fractions ont des dénominateurs différents. Pour simplifier les opérations, il est donc souvent nécessaire de réduire les fractions au même dénominateur. Il existe plusieurs méthodes pour y arriver, nous en verrons quelques-unes ci-dessous.
Méthode 1 : Utiliser le produit en croix
La première méthode que nous allons voir consiste à utiliser le produit en croix. Cette méthode est assez simple, mais peut demander un peu de calcul mental. Par exemple, considérons les fractions $frac{2}{3}$ et $frac{5}{4}$ :
$$frac{2}{3} quad text{et} quad frac{5}{4}$$
Pour réduire ces deux fractions au même dénominateur, il faut trouver le PPCM (Plus Petit Commun Multiple) des deux dénominateurs. Dans ce cas, le PPCM de 3 et 4 est 12.
Ensuite, il suffit de multiplier chaque fraction par un nombre qui permet d’obtenir le dénominateur 12. Pour cela, on utilise le produit en croix :
$$frac{2}{3} times frac{4}{4} = frac{8}{12}$$
$$frac{5}{4} times frac{3}{3} = frac{15}{12}$$
Maintenant, les deux fractions ont le même dénominateur, et on peut les comparer ou les additionner facilement.
Méthode 2 : Utiliser des fractions équivalentes
Une autre méthode pour réduire des fractions au même dénominateur consiste à utiliser des fractions équivalentes. Une fraction équivalente est une fraction qui représente la même quantité que la fraction d’origine, mais qui a un dénominateur différent. Pour trouver des fractions équivalentes, il suffit de multiplier ou de diviser le numérateur et le dénominateur par le même nombre.
Par exemple, considérons les fractions $frac{1}{2}$ et $frac{2}{3}$ :
$$frac{1}{2} quad text{et} quad frac{2}{3}$$
Pour réduire ces deux fractions au même dénominateur, il faut trouver un multiple commun des deux dénominateurs. Dans ce cas, le multiple commun le plus petit est 6.
Ensuite, il suffit de trouver des fractions équivalentes qui ont un dénominateur de 6 :
$$frac{1}{2} times frac{3}{3} = frac{3}{6}$$
$$frac{2}{3} times frac{2}{2} = frac{4}{6}$$
Maintenant, les deux fractions ont le même dénominateur, et on peut les comparer ou les additionner facilement.
Méthode 3 : Utiliser des fractions partielles
Une troisième méthode pour réduire des fractions au même dénominateur consiste à utiliser des fractions partielles. Cette méthode est particulièrement utile pour les fractions qui ont des dénominateurs qui sont des puissances de nombres premiers.
Pour utiliser cette méthode, il faut d’abord factoriser les dénominateurs en facteurs premiers. Ensuite, on écrit chaque fraction comme une somme de fractions partielles dont le dénominateur est un facteur premier commun.
Par exemple, considérons les fractions $frac{2}{3}$ et $frac{5}{8}$ :
$$frac{2}{3} quad text{et} quad frac{5}{8}$$
Le dénominateur de la première fraction est 3, et celui de la deuxième fraction est 8. 8 est égal à $2^3$, c’est-à-dire que chaque facteur premier de 8 est 2. On peut donc écrire la deuxième fraction comme une somme de fractions partielles dont le dénominateur est 2 :
$$frac{5}{8} = frac{a}{2} + frac{b}{2^2} + frac{c}{2^3}$$
Ensuite, on cherche les valeurs de $a$, $b$ et $c$. Pour cela, on multiplie chaque fraction partielle par le dénominateur commun, et on résout le système d’équations qui en résulte. Dans ce cas, on obtient :
$$frac{5}{8} = frac{4a}{8} + frac{2b}{8} + frac{c}{8}$$
$$5 = 4a + 2b + c$$
On peut facilement trouver les valeurs de $a$, $b$ et $c$ en résolvant ce système d’équations. Ici, on a :
$$a = frac{5}{4} – frac{b}{2} – frac{c}{8}$$
On peut ensuite utiliser cette valeur de $a$ pour écrire la deuxième fraction sous la forme d’une somme de fractions partielles :
$$frac{5}{8} = frac{5}{4} times frac{1}{2} – frac{b}{2^2} – frac{c}{2^3}$$
Maintenant, les deux fractions ont le même dénominateur, et on peut les comparer ou les additionner facilement.
Conclusion
Réduire des fractions au même dénominateur est une technique essentielle en arithmétique des fractions. Elle permet de simplifier les opérations et de rendre les calculs plus faciles. Dans cet article, nous avons vu trois méthodes pour réduire des fractions au même dénominateur : utiliser le produit en croix, utiliser des fractions équivalentes, et utiliser des fractions partielles. Chacune de ces méthodes peut être utilisée en fonction de la situation, et il est important de connaître toutes ces méthodes pour pouvoir résoudre efficacement des problèmes en arithmétique des fractions.
Note : Cet article n'est pas mis à jour régulièrement et peut contenir des informations obsolètes ainsi que des erreurs.
