Introduction
La loi normale, également appelée distribution de Gauss ou distribution normale, est l’une des distributions les plus importantes en statistiques et en probabilités. Elle est utilisée dans de nombreux domaines, tels que la finance, la physique, la biologie, la psychologie, etc. La loi normale est caractérisée par sa forme en cloche symétrique et elle est définie par deux paramètres : la moyenne et l’écart-type. Dans cet article, nous allons vous donner des astuces et des conseils pratiques pour trouver facilement la loi normale.
Définition de la loi normale
La loi normale est une distribution continue de probabilité qui est définie par deux paramètres : la moyenne (mu) et l’écart-type (sigma). La fonction de densité de probabilité de la loi normale est donnée par la formule suivante :
où x représente la variable aléatoire suivant une loi normale de moyenne mu et d’écart-type sigma. La courbe de la loi normale est symétrique par rapport à la moyenne et elle a une forme en cloche. Elle est centrée sur la moyenne et son écart-type détermine sa dispersion.
Les propriétés de la loi normale
La loi normale a plusieurs propriétés qui la rendent très utile en statistiques et en probabilités. Voici quelques-unes de ces propriétés :
La symétrie
Comme nous l’avons mentionné précédemment, la loi normale est symétrique par rapport à la moyenne. Cela signifie que la probabilité d’obtenir une valeur x en dessous de la moyenne est la même que la probabilité d’obtenir une valeur x au-dessus de la moyenne.
La courbe en cloche
La courbe de la loi normale a une forme en cloche. Cela signifie que la majorité des valeurs se trouvent près de la moyenne et que les valeurs extrêmes sont très peu probables.
La loi normale standard
La loi normale standard est une loi normale avec une moyenne de zéro et un écart-type de un. Elle est souvent utilisée pour normaliser les données et pour les comparer entre elles.
Les règles empiriques
Les règles empiriques, également connues sous le nom de règles de Chebychev, décrivent la proportion de valeurs se situant à une certaine distance de la moyenne. Selon ces règles, environ 68 % des valeurs se situent à moins d’un écart-type de la moyenne, environ 95 % des valeurs se situent à moins de deux écart-types de la moyenne et environ 99,7 % des valeurs se situent à moins de trois écart-types de la moyenne.
La transformation linéaire
Si une variable aléatoire suit une loi normale, alors une transformation linéaire de cette variable aléatoire suit également une loi normale. Plus précisément, si X suit une loi normale de moyenne mu et d’écart-type sigma, alors aX+b suit une loi normale de moyenne amu+b et d’écart-type |a|sigma.
Comment trouver la loi normale
Maintenant que nous avons vu les propriétés de la loi normale, nous allons vous donner des astuces et des conseils pratiques pour trouver facilement la loi normale.
Utiliser un logiciel de statistiques
La méthode la plus simple pour trouver la loi normale est d’utiliser un logiciel de statistiques comme R, Python, SAS, SPSS, etc. Ces logiciels ont des fonctions intégrées pour calculer la loi normale à partir des données. Par exemple, voici comment utiliser la fonction "dnorm" de R pour calculer la loi normale :
# Générer des données aléatoires suivant une loi normale
x <- rnorm(100, mean = 0, sd = 1)
# Calculer la fonction de densité de probabilité de la loi normale
y <- dnorm(x, mean = 0, sd = 1)
# Dessiner la courbe de la loi normale
plot(x, y, type = "l")Cette code génère 100 données aléatoires suivant une loi normale de moyenne zéro et d'écart-type un, puis calcule la fonction de densité de probabilité de la loi normale à partir de ces données et dessine la courbe de la loi normale.
Utiliser des tables de la loi normale
Une autre méthode pour trouver la loi normale est d'utiliser des tables de la loi normale. Ces tables donnent les valeurs de la fonction de répartition de la loi normale pour différentes valeurs de la variable aléatoire x. La fonction de répartition est définie comme la probabilité que la variable aléatoire soit inférieure ou égale à une certaine valeur x.
Voici un exemple de table de la loi normale :
| x | 0,00 | 0,01 | 0,02 | 0,03 | … |
|---|---|---|---|---|---|
| -3,4 | 0,0003 | 0,0003 | 0,0003 | 0,0003 | … |
| -3,3 | 0,0005 | 0,0005 | 0,0005 | 0,0005 | … |
| -3,2 | 0,0007 | 0,0007 | 0,0007 | 0,0007 | … |
| -3,1 | 0,0010 | 0,0010 | 0,0010 | 0,0010 | … |
| … | … | … | … | … | … |
Cette table donne les valeurs de la fonction de répartition pour différentes valeurs de x allant de -3,4 à 3,4. Pour trouver la probabilité que la variable aléatoire soit inférieure ou égale à une certaine valeur x, il suffit de trouver la valeur correspondante dans la table. Par exemple, si nous voulons trouver la probabilité que la variable aléatoire soit inférieure ou égale à 1,64, nous cherchons cette valeur dans la table et nous trouvons la probabilité de 0,9495.
Utiliser les règles empiriques
Les règles empiriques que nous avons mentionnées précédemment peuvent également être utilisées pour trouver la loi normale. En effet, si nous connaissons la moyenne et l'écart-type d'une variable aléatoire, nous pouvons utiliser ces règles pour estimer la proportion de valeurs se situant à une certaine distance de la moyenne.
Par exemple, si nous avons une variable aléatoire suivant une loi normale de moyenne 10 et d'écart-type 2, nous pouvons utiliser les règles empiriques pour estimer la proportion de valeurs se situant entre 6 et 14. Selon les règles empiriques, environ 68 % des valeurs se situent à moins d'un écart-type de la moyenne, donc environ 68 % des valeurs se situent entre 8 et 12. Environ 95 % des valeurs se situent à moins de deux écart-types de la moyenne, donc environ 95 % des valeurs se situent entre 6 et 14. Environ 99,7 % des valeurs se situent à moins de trois écart-types de la moyenne, donc environ 99,7 % des valeurs se situent entre 4 et 16.
Utiliser des approximations
Il existe plusieurs approximations qui peuvent être utilisées pour trouver la loi normale dans certaines situations. Voici quelques-unes de ces approximations :
L'approximation de la loi normale binomiale
Si nous avons une distribution binomiale de grand nombre d'essais et de petite probabilité de succès, alors nous pouvons utiliser l'approximation de la loi normale pour approximer cette distribution. Cette approximation est basée sur le théorème central limite et elle permet de calculer la probabilité d'obtenir un certain nombre de succès dans une série d'essais indépendants et identiquement distribués.
L'approximation de la loi normale de Pareto
Si nous avons une distribution de Pareto avec un paramètre d'échelle très grand, alors nous pouvons utiliser l'approximation de la loi normale de Pareto pour approximer cette distribution. Cette approximation est basée sur le fait que la distribution de Pareto peut être vue comme la distribution d'échelle maximum d'un échantillon de taille n de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées.
L'approximation de la loi normale logistique
Si nous avons une distribution logistique avec une pente très raide, alors nous pouvons utiliser l'approximation de la loi normale logistique pour approximer cette distribution. Cette approximation est basée sur le fait que la distribution logistique peut être vue comme la distribution d'échelle maximum d'un échantillon de taille n de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées.
Conclusion
La loi normale est une distribution importante en statistiques et en probabilités. Elle est utilisée dans de nombreux domaines pour modéliser des phénomènes aléatoires. Dans cet article, nous avons vu des astuces et des conseils pratiques pour trouver facilement la loi normale, tels que l'utilisation de logiciels de statistiques, de tables de la loi normale, de règles empiriques et d'approximations. Nous espérons que cet article vous sera utile pour comprendre et utiliser la loi normale dans vos analyses statistiques.
Note : Cet article n'est pas mis à jour régulièrement et peut contenir des informations obsolètes ainsi que des erreurs.
