Introduction
La loi normale est une loi de probabilité très importante en statistique. Elle est utilisée pour modéliser de nombreux phénomènes naturels et sociaux tels que la taille des individus d’une population, le poids des objets, la durée de vie des machines, la production dans une usine, le prix d’une action en bourse, etc. Elle est également appelée loi de Gauss ou loi de Laplace-Gauss.
La loi normale est caractérisée par deux paramètres : la moyenne (μ) et l’écart-type (σ). La courbe de la loi normale est symétrique par rapport à la moyenne et décroît assez rapidement en s’éloignant de la moyenne. Elle est représentée par une courbe en forme de cloche.
Dans cet article, nous allons voir comment trouver la loi normale à partir de données empiriques en utilisant une méthode simple et efficace.
La méthode des moments
La méthode des moments est une méthode statistique utilisée pour estimer les paramètres d’une loi de probabilité à partir d’un échantillon de données empiriques. Elle consiste à égaler les moments empiriques (moyenne, variance, etc.) aux moments théoriques de la loi de probabilité recherchée.
Les moments empiriques
Les moments empiriques sont des statistiques descriptives qui mesurent la tendance centrale, la dispersion et la forme d’un échantillon de données. Les moments les plus couramment utilisés sont :
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La moyenne (1er moment) : c’est la mesure de la tendance centrale de l’échantillon. Elle se calcule en faisant la somme des observations divisée par le nombre d’observations : μ = ΣXi / n.
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La variance (2ème moment) : c’est la mesure de la dispersion de l’échantillon. Elle se calcule en faisant la moyenne des carrés des écarts à la moyenne : σ² = Σ(Xi – μ)² / n.
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L’écart-type (racine carrée de la variance) : c’est une mesure de la dispersion de l’échantillon qui a la même unité que les observations : σ = √(σ²).
Les moments théoriques
Les moments théoriques sont les moments d’une loi de probabilité. Pour la loi normale, on peut calculer les moments théoriques à partir des paramètres μ et σ :
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La moyenne (1er moment) : c’est le paramètre μ.
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La variance (2ème moment) : c’est le carré du paramètre σ : σ².
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Les moments d’ordre supérieur (3ème moment, 4ème moment, etc.) : ils sont nuls pour la loi normale.
L’estimation des paramètres de la loi normale
Pour estimer les paramètres de la loi normale à partir d’un échantillon de données, il suffit de résoudre le système d’équations suivant :
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La moyenne empirique doit être égale à la moyenne théorique : μ = ΣXi / n.
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La variance empirique doit être égale à la variance théorique : σ² = Σ(Xi – μ)² / n.
En résolvant ce système d’équations, on obtient les estimations des paramètres μ et σ :
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La moyenne empirique est l’estimation du paramètre μ.
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L’écart-type empirique est l’estimation du paramètre σ.
Exemple d’application
Supposons que nous avons un échantillon de 10 observations : {5, 8, 7, 6, 4, 9, 5, 6, 8, 7}. Nous voulons trouver la loi normale qui correspond à cet échantillon.
- Calcul de la moyenne empirique :
μ = (5 + 8 + 7 + 6 + 4 + 9 + 5 + 6 + 8 + 7) / 10 = 6.5
- Calcul de la variance empirique :
σ² = [(5 – 6.5)² + (8 – 6.5)² + (7 – 6.5)² + (6 – 6.5)² + (4 – 6.5)² + (9 – 6.5)² + (5 – 6.5)² + (6 – 6.5)² + (8 – 6.5)² + (7 – 6.5)²] / 10 = 2.25
- Calcul de l’écart-type empirique :
σ = √(2.25) = 1.5
Donc, la loi normale qui correspond à cet échantillon est N(6.5, 1.5²).
La méthode de maximum de vraisemblance
La méthode de maximum de vraisemblance est une méthode statistique utilisée pour estimer les paramètres d’une loi de probabilité à partir d’un échantillon de données empiriques. Elle consiste à trouver les valeurs des paramètres qui maximisent la vraisemblance de l’échantillon observé.
La fonction de densité de probabilité
La fonction de densité de probabilité (fdp) d’une loi de probabilité est une fonction qui assigne une probabilité à chaque valeur possible de la variable aléatoire. Pour la loi normale, la fdp est donnée par :
f(x | μ, σ) = (1 / (σ√(2π))) * exp(-(x – μ)² / (2σ²))
où x est la variable aléatoire, μ est la moyenne, σ est l’écart-type.
La vraisemblance
La vraisemblance est la probabilité de l’échantillon observé pour une valeur donnée des paramètres de la loi de probabilité. Pour la loi normale, la vraisemblance est donnée par le produit des densités de probabilité pour chaque observation :
L(μ, σ | x1, x2, …, xn) = Πi=1nf(xi | μ, σ)
où xi est la i-ème observation, n est le nombre d’observations.
L’estimation des paramètres de la loi normale
Pour estimer les paramètres de la loi normale à partir d’un échantillon de données, il suffit de trouver les valeurs des paramètres qui maximisent la vraisemblance de l’échantillon observé. Pour cela, on peut utiliser les dérivées partielles de la fonction de log-vraisemblance :
ln(L(μ, σ | x1, x2, …, xn)) = – n/2 ln(2π) – n ln(σ) – Σi=1n (xi – μ)² / (2σ²)
∂ ln(L) / ∂ μ = Σi=1n (xi – μ) / σ² = 0
∂ ln(L) / ∂ σ = – n/σ + Σi=1n (xi – μ)² / σ³ = 0
En résolvant ces deux équations, on obtient les estimations des paramètres μ et σ :
-
La moyenne empirique est l’estimation du paramètre μ.
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L’écart-type empirique corrigé est l’estimation du paramètre σ.
Exemple d’application
Supposons que nous avons un échantillon de 10 observations : {5, 8, 7, 6, 4, 9, 5, 6, 8, 7}. Nous voulons trouver la loi normale qui correspond à cet échantillon.
- Calcul de la fonction log-vraisemblance :
ln(L(μ, σ | x1, x2, …, xn)) = – 10/2 ln(2π) – 10 ln(σ) – [(5 – μ)² + (8 – μ)² + (7 – μ)² + (6 – μ)² + (4 – μ)² + (9 – μ)² + (5 – μ)² + (6 – μ)² + (8 – μ)² + (7 – μ)²] / (2σ²)
- Calcul des dérivées partielles :
∂ ln(L) / ∂ μ = – Σi=1n (xi – μ) / σ² = 0
∂ ln(L) / ∂ σ = – 10/σ + [(5 – μ)² + (8 – μ)² + (7 – μ)² + (6 – μ)² + (4 – μ)² + (9 – μ)² + (5 – μ)² + (6 – μ)² + (8 – μ)² + (7 – μ)²] / σ³ = 0
- Résolution du système d’équations :
μ = (5 + 8 + 7 + 6 + 4 + 9 + 5 + 6 + 8 + 7) / 10 = 6.5
σ = √[(1/10) * [(5 – 6.5)² + (8 – 6.5)² + (7 – 6.5)² + (6 – 6.5)² + (4 – 6.5)² + (9 – 6.5)² + (5 – 6.5)² + (6 – 6.5)² + (8 – 6.5)² + (7 – 6.5)²]] = 1.5
Donc, la loi normale qui correspond à cet échantillon est N(6.5, 1.5²).
Conclusion
La méthode des moments et la méthode de maximum de vraisemblance sont deux méthodes simples et efficaces pour trouver la loi normale à partir de données empiriques. La méthode des moments est plus facile à comprendre et à appliquer, mais elle est moins précise que la méthode de maximum de vraisemblance. La méthode de maximum de vraisemblance est plus précise que la méthode des moments, mais elle nécessite des calculs plus complexes et plus longs.
La loi normale est une loi de probabilité fondamentale en statistique. Elle est utilisée dans de nombreux domaines tels que la physique, la finance, la biologie, la psychologie, etc. Elle permet de modéliser des phénomènes naturels et sociaux qui présentent une distribution normale. La compréhension de la loi normale est donc essentielle pour tout statisticien ou chercheur qui travaille avec des données empiriques.
Note : Cet article n'est pas mis à jour régulièrement et peut contenir des informations obsolètes ainsi que des erreurs.
