Trouver les deux côtés d’un triangle rectangle : astuces et méthodes

Introduction

Le théorème de Pythagore est un concept fondamental en géométrie qui permet de trouver le troisième côté d’un triangle rectangle en utilisant les deux autres côtés. Cependant, il y a des situations où nous ne connaissons pas les deux côtés d’un triangle rectangle, mais seulement l’un d’entre eux ainsi que l’angle droit. Dans cet article, nous allons explorer les astuces et méthodes pour trouver les deux côtés manquants d’un triangle rectangle.

Les bases de la trigonométrie

La trigonométrie est la branche de la mathématique qui étudie les relations entre les angles et les côtés des triangles. Pour résoudre les problèmes liés aux triangles, il est important d’avoir une bonne compréhension des ratios trigonométriques. Les trois ratios les plus importants sont le sinus, le cosinus et la tangente.

Le sinus

Le sinus d’un angle est le rapport entre le côté opposé à l’angle et l’hypoténuse du triangle. Le sinus se note par sin et se calcule comme suit :

sin(angle) = côté opposé / hypoténuse

Le cosinus

Le cosinus d’un angle est le rapport entre le côté adjacent à l’angle et l’hypoténuse du triangle. Le cosinus se note par cos et se calcule comme suit :

cos(angle) = côté adjacent / hypoténuse

La tangente

La tangente d’un angle est le rapport entre le côté opposé à l’angle et le côté adjacent à l’angle. La tangente se note par tan et se calcule comme suit :

tan(angle) = côté opposé / côté adjacent

Trouver le côté adjacent

Exemple 1

Supposons que nous avons un triangle rectangle ABC avec un angle droit à B. Nous connaissons le côté adjacent AB, qui mesure 6 cm, mais nous ne connaissons pas le côté opposé AC. Nous voulons trouver la longueur de AC.

Nous pouvons utiliser le ratio trigonométrique du cosinus pour trouver la longueur de AC. Le cosinus de l’angle à côté de AC est égal à la longueur de AB divisée par la longueur de l’hypoténuse BC.

cos(angle) = côté adjacent / hypoténuse
cos(angle) = AB / BC
cos(angle) = 6 / BC

Pour trouver la longueur de BC, nous devons isoler BC dans cette équation :

BC = AB / cos(angle)
BC = 6 / cos(angle)

Maintenant que nous connaissons la longueur de BC, nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore pour trouver la longueur de AC :

BC² + AC² = AB²
(6 / cos(angle))² + AC² = 6²
AC² = 6² - (6 / cos(angle))²
AC ≈ 3.61 cm

Dans cet exemple, nous avons utilisé le cosinus pour trouver la longueur de BC, puis le théorème de Pythagore pour trouver la longueur de AC.

Exemple 2

Supposons maintenant que nous avons un triangle rectangle XYZ avec un angle droit à Y. Nous connaissons le côté adjacent YZ, qui mesure 8 cm, mais nous ne connaissons pas la mesure de l’angle à côté de X. Nous voulons trouver la mesure de cet angle.

Nous pouvons utiliser le ratio trigonométrique de l’arc cosinus pour trouver la mesure de l’angle à côté de X. L’arc cosinus est l’inverse de la fonction cosinus et se note par cos⁻¹. Pour trouver l’angle à côté de X, nous devons utiliser la formule suivante :

angle = cos⁻¹(côté adjacent / hypoténuse)
angle = cos⁻¹(YZ / XY)

Dans cet exemple, nous connaissons la longueur de YZ et nous avons besoin de trouver la longueur de XY. Nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore pour trouver la longueur de XY.

XY² = YZ² + XZ²
XY² = 8² + XZ²

Maintenant que nous connaissons la longueur de XY, nous pouvons utiliser la formule de l’arc cosinus pour trouver la mesure de l’angle à côté de X :

angle = cos⁻¹(YZ / XY)
angle = cos⁻¹(8 / √(8² + XZ²))

Dans cet exemple, nous avons utilisé l’arc cosinus pour trouver la mesure de l’angle à côté de X, puis le théorème de Pythagore pour trouver la longueur de XY.

Trouver le côté opposé

Exemple 3

Supposons que nous avons un triangle rectangle DEF avec un angle droit à E. Nous connaissons le côté opposé DE, qui mesure 10 cm, mais nous ne connaissons pas le côté adjacent DF. Nous voulons trouver la longueur de DF.

Nous pouvons utiliser le ratio trigonométrique du sinus pour trouver la longueur de DF. Le sinus de l’angle à côté de DF est égal à la longueur de DE divisée par la longueur de l’hypoténuse EF.

sin(angle) = côté opposé / hypoténuse
sin(angle) = DE / EF

Pour trouver la longueur de EF, nous devons isoler EF dans cette équation :

EF = DE / sin(angle)

Maintenant que nous connaissons la longueur de EF, nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore pour trouver la longueur de DF :

EF² - DF² = DE²
(DE / sin(angle))² - DF² = DE²
DF² = (DE / sin(angle))² - DE²
DF ≈ 2.75 cm

Dans cet exemple, nous avons utilisé le sinus pour trouver la longueur de EF, puis le théorème de Pythagore pour trouver la longueur de DF.

Exemple 4

Supposons que nous avons un triangle rectangle GHI avec un angle droit à I. Nous ne connaissons ni le côté opposé GH ni le côté adjacent HG, mais nous connaissons la mesure de l’angle à côté de H. Nous voulons trouver la longueur des deux côtés manquants.

Nous pouvons utiliser le ratio trigonométrique du sinus pour trouver la longueur de GH et HG. Le sinus de l’angle à côté de GH est égal à la longueur de GH divisée par la longueur de l’hypoténuse HI, tandis que le sinus de l’angle à côté de HG est égal à la longueur de HG divisée par la longueur de l’hypoténuse HI.

sin(angle1) = côté opposé1 / hypoténuse
sin(angle2) = côté opposé2 / hypoténuse

En utilisant la première équation, nous pouvons isoler GH :

GH = sin(angle1) * HI

Et en utilisant la deuxième équation, nous pouvons isoler HG :

HG = sin(angle2) * HI

Maintenant que nous connaissons les longueurs de GH et HG, nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore pour trouver la longueur de l’hypoténuse HI :

HI² = GH² + HG²

Dans cet exemple, nous avons utilisé le sinus pour trouver les longueurs de GH et HG, puis le théorème de Pythagore pour trouver la longueur de l’hypoténuse HI.

Conclusion

Dans cet article, nous avons exploré les astuces et méthodes pour trouver les deux côtés manquants d’un triangle rectangle. Nous avons vu comment utiliser les ratios trigonométriques pour calculer les longueurs des côtés adjacent et opposé, ainsi que la mesure de l’angle à côté d’un côté donné. Nous avons également vu comment utiliser le théorème de Pythagore pour trouver la longueur de l’hypoténuse d’un triangle. En comprenant les concepts de base de la trigonométrie, il est possible de résoudre facilement les problèmes liés aux triangles rectangles.

Note : Cet article n'est pas mis à jour régulièrement et peut contenir des informations obsolètes ainsi que des erreurs.