Introduction
Lorsqu’on étudie les équations du second degré, il est souvent demandé de trouver les solutions x1 et x2. La méthode classique pour y parvenir est de calculer le discriminant delta et d’appliquer la formule de résolution, mais il existe également des astuces et méthodes pour trouver les solutions sans avoir à calculer delta. Nous allons les explorer dans cet article.
Rappel de la formule de résolution
Avant de commencer, rappelons la formule de résolution d’une équation du second degré :
ax² + bx + c = 0
delta = b² – 4ac
Si delta est positif, l’équation a deux solutions réelles distinctes :
x1 = (-b + √delta) / 2a
x2 = (-b – √delta) / 2a
Si delta est nul, l’équation a une solution réelle double :
x = -b / 2a
Si delta est négatif, l’équation n’a pas de solution réelle.
Astuce n°1 : factoriser l’expression
La première astuce consiste à factoriser l’expression de l’équation pour trouver directement les solutions. Cette astuce ne fonctionne que si l’équation est facilement factorisable.
Prenons par exemple l’équation suivante :
x² + 7x + 10 = 0
Pour la factoriser, nous devons trouver deux nombres dont la somme est égale à 7 et le produit à 10. Ces nombres sont 2 et 5. Nous pouvons donc écrire :
x² + 7x + 10 = (x + 2)(x + 5) = 0
Il suffit alors de résoudre les deux équations du premier degré :
x + 2 = 0 => x1 = -2
x + 5 = 0 => x2 = -5
Nous avons donc trouvé les solutions de l’équation sans avoir à calculer delta.
Astuce n°2 : utiliser la somme et le produit des racines
La deuxième astuce consiste à utiliser la somme et le produit des racines pour trouver directement les solutions sans avoir à calculer delta.
Prenons par exemple l’équation suivante :
x² – 6x + 8 = 0
Nous savons que la somme des racines est égale à :
x1 + x2 = 6 / 1 = 6
Et que leur produit est égal à :
x1 * x2 = 8 / 1 = 8
Nous pouvons donc écrire un système de deux équations du premier degré :
x1 + x2 = 6
x1 * x2 = 8
En résolvant ce système, nous obtenons :
x1 = 2
x2 = 4
Nous avons donc trouvé les solutions de l’équation sans avoir à calculer delta.
Astuce n°3 : utiliser la méthode de Viète
La troisième astuce consiste à utiliser la méthode de Viète pour trouver directement les solutions sans avoir à calculer delta.
La méthode de Viète consiste à exprimer les solutions x1 et x2 en fonction des coefficients a, b et c de l’équation. Nous avons vu précédemment que :
x1 + x2 = -b / a
x1 * x2 = c / a
Nous pouvons donc écrire :
x1 = (-b + √(b² – 4ac)) / 2a
x2 = (-b – √(b² – 4ac)) / 2a
Nous avons donc trouvé les solutions de l’équation sans avoir à calculer delta.
Astuce n°4 : utiliser la méthode du complément
La quatrième astuce consiste à utiliser la méthode du complément pour trouver directement les solutions sans avoir à calculer delta.
La méthode du complément consiste à ajouter ou soustraire une quantité à l’expression de l’équation de manière à obtenir une expression facilement factorisable.
Prenons par exemple l’équation suivante :
x² – 5x + 6 = 0
Nous pouvons ajouter 1 de chaque côté de l’équation pour obtenir :
x² – 5x + 7 = 1
Nous pouvons alors factoriser l’expression de gauche :
(x – 1)(x – 6) = 1
Nous avons ainsi deux équations à résoudre :
x – 1 = 1 => x1 = 2
x – 6 = 1 => x2 = 7
Nous avons donc trouvé les solutions de l’équation sans avoir à calculer delta.
Conclusion
Nous avons vu dans cet article plusieurs astuces et méthodes pour trouver les solutions x1 et x2 d’une équation du second degré sans avoir à calculer delta. Ces astuces et méthodes sont utiles dans certains cas, mais il convient de rappeler que la méthode classique de calcul de delta reste la plus fiable et la plus précise. Il est donc recommandé d’utiliser ces astuces et méthodes avec précaution et de vérifier les résultats obtenus.
Note : Cet article n'est pas mis à jour régulièrement et peut contenir des informations obsolètes ainsi que des erreurs.
